Mandelbrot και Julia Sets στο ESP32: 4 βήματα (με εικόνες)

2024 Συγγραφέας: John Day | [email protected]. Τελευταία τροποποίηση: 2024-01-30 08:34

Σίγουρα γνωρίζετε φράκταλ, το πιο γνωστό από τα οποία είναι το σετ Mandelbrot.

Εδώ είναι ένα πρόγραμμα για να παίξετε με το ESP32. Επέλεξα το ESP32 γιατί πιστεύω ότι θα κάνει τους υπολογισμούς γρηγορότερα από ένα τυπικό Arduino (υψηλότερη συχνότητα ρολογιού: 240 MHz): περίπου ένα δευτερόλεπτο έως ένα δευτερόλεπτο για υπολογισμό και εμφάνιση.

Ο κωδικός εμφανίζεται σε οθόνη αφής 480 x 320 TFT. Υπολογίζει τις ρυθμίσεις Mandelbrot και Julia για πολλές τιμές παραμέτρων και σας επιτρέπει να κάνετε μεγέθυνση σε περιοχές που σας ενδιαφέρουν για να δείτε την πτυχή του φράκταλ (δηλαδή την παρουσία των ίδιων δομών σε κάθε αλλαγή κλίμακας). Το επίπεδο ζουμ είναι περιορισμένο λόγω της περιορισμένης ακρίβειας των υπολογισμών, αλλά μπορούν να γίνουν μισή ντουζίνα ζουμ πριν υποβαθμιστεί η εικόνα.

Ετοιμαστείτε να εξερευνήσετε τον μαγικό κόσμο των φράκταλ…

Βήμα 1: Τι είναι τα Mandelbrot και Julia Sets;

Το σετ Mandelbrot πήρε το όνομά του από τον Benoit Mandelbrot (1924-2010), έναν Γάλλο και Αμερικανό μαθηματικό που έκανε εργασίες pionner στην γεωμετρία του φράκταλ, που ξεκίνησε στα τέλη του 19ου αιώνα, μεταξύ άλλων, από τους Peano, Sierpinski και Julia.

Τι είναι τα φράκταλ αντικείμενα;

Οι παρατυπίες της φύσης, που μπορεί να φαίνονται χαοτικές, όπως η γραμμή της ακτής της θάλασσας, το σχήμα των σύννεφων, ένα δέντρο, είναι στην πραγματικότητα η έκφραση μιας πολύπλοκης γεωμετρίας σε μεταβαλλόμενη κλίμακα. Σε αυτό το πλαίσιο, η έννοια της κλασματικής διάστασης αντικαθιστά αυτή της συνηθισμένης Ευκλείδειας διάστασης (που είναι πάντα ακέραιος)!

Ένα φράκταλ αντικείμενο είναι τέτοιο που οποιοδήποτε τμήμα του είναι πανομοιότυπο με το σύνολο (αυτό ονομάζεται ομοιότητα με τον εαυτό του): η δομή του είναι αμετάβλητη από την αλλαγή κλίμακας.

Ο όρος "fractal" είναι ένας νεολογισμός που δημιουργήθηκε από τον Benoît Mandelbrot το 1974 από τη λατινική ρίζα fractus, που σημαίνει "σπασμένος", "ακανόνιστος". Είναι και ουσιαστικό και επίθετο. Πολλά φυσικά φαινόμενα - όπως το περίγραμμα των ακτών ή η εμφάνιση του λάχανου Romanesco (βλέπε εικόνα) - έχουν κατά προσέγγιση σχήματα φράκταλ.

Ο Benoît Mandelbrot είχε μια κάπως άτυπη καριέρα: μετά τη διδασκαλία στο Πανεπιστήμιο της Λιλ (Γαλλία), πήρε θέση στην IBM όπου γρήγορα έγινε μέλος του IBM, γεγονός που του έδωσε μεγάλη ελευθερία για τις επιστημονικές του σπουδές. Στις αρχές της δεκαετίας του 1980, αφού έφυγε από την IBM, έγινε καθηγητής στο Χάρβαρντ, αλλά εγκαταστάθηκε μόνιμα στο Γέιλ.

Η δουλειά του στη δεκαετία του 1960 και στις αρχές της δεκαετίας του 1970 τον οδήγησε στη δημοσίευση ενός διάσημου άρθρου με τίτλο "Fractal Objects" στο οποίο έδειξε ότι αυτά τα αντικείμενα, που θεωρούνται από ένα μεγάλο μέρος της μαθηματικής κοινότητας ως απλά περιέργεια, βρίσκονταν παντού στη φύση. Έδωσε πολλά παραδείγματα σε μια ευρεία ποικιλία τομέων όπως η φυσική, η υδρολογία, τα οικονομικά, η μετεωρολογία, η γεωγραφία, η γεωλογία, η μεταλλουργία….

Τι είναι το σετ Mandelbrot;

Αρχικά, ας πούμε ότι είναι ένα ωραίο σχέδιο που δημιουργήθηκε από ένα πρόγραμμα. Και αυτό το πρόγραμμα είναι αρκετά απλό. Υπάρχουν πολλά σχέδια που δημιουργούνται από υπολογιστή και πολλά λογισμικά υπολογιστών για τη δημιουργία τους. Τι το ιδιαίτερο λοιπόν έχει αυτό; Πρώτον, το σετ Mandelbrot είναι ένα υποσύνολο του σχεδίου, μια συλλογή σημείων. Περιέχει περιοχές αλλά και λείες καμπύλες, νήματα, σημεία από τα οποία προέρχονται πολλαπλοί κλάδοι και άλλα πράγματα. Δεύτερον: είναι πραγματικά συναρπαστικό και έχει μια πολύ ενδιαφέρουσα ιστορία.

Στις αρχές του 20ού αιώνα, οι Γάλλοι μαθηματικοί Pierre Fatou και Gaston Julia ανέπτυξαν έναν υποτομέα μαθηματικών που ονομάζεται ολομορφική δυναμική. Ενδιαφέρονταν για συγκεκριμένες συναρτήσεις, με βάση τους αριθμούς, χρησιμοποιώντας μερικές από τις απλούστερες διαθέσιμες φόρμουλες. Οι εν λόγω αριθμοί είναι μιγαδικοί αριθμοί, ποσότητες που αντιπροσωπεύονται από δύο συντεταγμένες (ακριβώς όπως τα σημεία ενός επιπέδου) που ονομάζονται πραγματικά και φανταστικά μέρη. Επινοήθηκαν τον 16ο αιώνα από μαθηματικούς για να βοηθήσουν στην εύρεση των ριζών των πολυωνύμων και τη λύση των εξισώσεων, αλλά έχουν βρει ευρείες και βαθιές εφαρμογές στα μαθηματικά και τις φυσικές επιστήμες. Μπορούμε να προσθέσουμε 2 μιγαδικούς αριθμούς, να τους πολλαπλασιάσουμε ή να τους διαιρέσουμε και να κάνουμε πολλά άλλα πράγματα. Ο Φατού και η Τζούλια μελέτησαν τις ιδιότητες ορισμένων δυναμικών συστημάτων όπου ένας μιγαδικός αριθμός ποικίλλει σύμφωνα με έναν απλό κανόνα που επαναλαμβάνεται ξανά και ξανά: δεν χρειάζεται περίπλοκα μαθηματικά εδώ (έτσι, μπορείτε να ξεχάσετε την πρώτη εικόνα…). Αποκάλυψαν τον πλούτο αυτών των συστημάτων, καθόρισαν τα σύνολα που τώρα ονομάζονται σύνολα της Τζούλια, και μελέτησαν την ομοιότητά τους, ως εκ τούτου φράκταλ… αλλά η λέξη δεν υπήρχε εκείνη την εποχή γιατί εφευρέθηκε πολύ αργότερα, από τον… Benoît Mandelbrot!

Μετά το έργο των ιδρυτών, αυτός ο τομέας έπεσε στη λήθη. Όταν έφτασαν οι υπολογιστές, βοήθησαν στην εξερεύνηση πολλών μαθηματικών φαινομένων που απαιτούν εντατικό υπολογισμό, συμπεριλαμβανομένου του τομέα που άνοιξαν οι Julia και Fatou. Έτσι, όταν ο Benoît Mandelbrot αποφάσισε να χρησιμοποιήσει υπολογιστές της IBM τη δεκαετία του 1980 για να αντιπροσωπεύσει ένα συγκεκριμένο μαθηματικό σύνολο που σχετίζεται με την ολομορφική δυναμική, πήρε ένα πολύ ελκυστικό και πολύ ενδιαφέρον σχέδιο (πρώτη εικόνα της προηγούμενης ενότητας).

Τι αντιπροσωπεύει το σετ Mandelbrot; Βασικά, υπάρχει ένα υποκείμενο δυναμικό σύστημα που σχετίζεται με κάθε σημείο της εικόνας. Οι συντεταγμένες του σημείου λειτουργούν ως ρυθμιζόμενη παράμετρος. Διαφορετικά σημεία αντιστοιχούν σε διαφορετικά σύνολα της Τζούλια και ανάλογα με τη συμπεριφορά τους, μπορούμε να αποφασίσουμε να χρωματίσουμε το σημείο με συγκεκριμένο τρόπο. Το σύνολο Mandelbrot είναι το σύνολο παραμέτρων για τις οποίες το σύστημα έχει μια συγκεκριμένη ιδιότητα.

Πώς να υπολογίσετε τα σύνολα Mandelbrot και Julia;

Πρέπει να μπούμε σε λίγο περισσότερες λεπτομέρειες για τον τρόπο υπολογισμού αυτών των συνόλων. Τα σύνολα Mandelbrot και Julia υπολογίζονται με την επαναλαμβανόμενη επανάληψη ενός απλού τύπου, στην περίπτωσή μας z^n+c. z είναι ένας μιγαδικός αριθμός που αντιπροσωπεύει τις συντεταγμένες ενός σημείου στην οθόνη. είναι ένας ακέραιος εκθέτης, οπότε το z^n είναι ίσο με το z πολλαπλασιασμένο με τον εαυτό του n φορές και το c είναι μια σταθερά.

Για το σύνολο Mandelbrot, για όλα τα σημεία στην περιοχή εμφάνισης, αρχικοποιούμε το z στο 0. Η σταθερά c λαμβάνεται ίση με την τιμή των συντεταγμένων του εξεταζόμενου σημείου και ο τύπος επαναλαμβάνεται.

Εδώ είναι ο κανόνας: ένα σημείο είναι μέρος του συνόλου εάν η επαναλαμβανόμενη εφαρμογή αυτού του τύπου δεν αποκλίνει (δηλαδή δεν οδηγεί σε υπολογισμούς προς μεγάλους αριθμούς). Μπορεί να αποδειχθεί μαθηματικά ότι εάν το αποτέλεσμα του τύπου υπερβεί το 2 (σε συντελεστή αφού μιλάμε για μιγαδικούς αριθμούς) η επανάληψη θα αποκλίνει. Έτσι, για να αποκτήσουμε γρήγορα όμορφα χρώματα, σταματάμε την επανάληψη όταν το μέτρο του αποτελέσματος υπερβεί το 2 και το χρώμα αντιστοιχεί στον αριθμό της συγκεκριμένης επανάληψης. Εάν ο αριθμός των επαναλήψεων γίνει πολύ μεγάλος (οπότε αν το σημείο είναι μέρος του συνόλου Mandelbrot) σταματάμε μετά από ένα δεδομένο όριο και συσχετίζουμε το μαύρο χρώμα σε αυτό το σημείο.

Το σύνολο Julia υπολογίζεται με παρόμοιο τρόπο, αλλά οι υπολογισμοί δεν αρχίζουν στο 0 αλλά στην τιμή των συντεταγμένων του εξεταζόμενου σημείου και η σταθερά c επιλέγεται από τον χρήστη και παραμένει η ίδια για ολόκληρη την εικόνα.

Αυτό είναι, ελπίζω να είναι σαφές … Αυτές οι εξηγήσεις βοηθούν στην καλύτερη κατανόηση των υπολοίπων οδηγιών χρήσης.

Βήμα 2: Τι χρειάζεστε;

Λογαριασμός υλικού:

• 1 πλακέτα ESP32
• 1 οθόνη TFT με οθόνη αφής και γραφίδα
• 1 πλάκα ψωμιού και σύρματα

Αυτό είναι. Συνολικό κόστος κάτω από 10 USD.

Το ESP32 του Espressif είναι ένας διπύρηνος μικροελεγκτής που λειτουργεί στα 240 MHz, γεγονός που το καθιστά έναν καλό υποψήφιο για γρήγορο και πολύπλοκο επαναλαμβανόμενο υπολογισμό. Έχει χωρητικότητα WiFi και Bluetooth που δεν χρησιμοποιώ σε αυτό το έργο.

Το σετ οδηγιών έχει μέγεθος 32 bit. Ο υπολογισμός με μεταβλητές 16 και 32 bit είναι πολύ γρήγορος, γεγονός που επιτρέπει ακριβείς υπολογισμούς, κάτι που είναι θεμελιώδες για σκοπούς μεγέθυνσης. Σε αυτήν την εφαρμογή, για μια οθόνη 320 x 240, μια εικόνα είναι χοντρικά κατασκευασμένη από 75, 000 pixel, καθένα από τα οποία υπολογίζεται χρησιμοποιώντας μια επαναληπτική διαδικασία που μπορεί να εκτελεστεί έως και 100 φορές. Αυτό μπορεί να οδηγήσει σε 7, 500, 000 μοναδιαίους υπολογισμούς, καθένας από τους οποίους είναι ένας εκτατικός, δηλαδή πολλαπλασιασμοί…

Έτσι, η ταχύτητα υπολογισμού είναι απαραίτητη εδώ, αλλά η ακρίβεια είναι θεμελιώδης. Όσο περισσότερο μεγεθύνετε, τόσο μικρότερο είναι το μέγεθος του τμήματος που θα εμφανιστεί. Αυτό σημαίνει ότι καθένα από τα 320 x 240 pixel της εικόνας αντιπροσωπεύει έναν αριθμό που βρίσκεται πολύ κοντά στους γείτονές του. Καθώς αυξάνεται το ζουμ, αυξάνεται αυτή η εγγύτητα.

Αλλά οι φράκταλ εικόνες έχουν αυτήν την ιδιότητα ότι παραμένουν αμετάβλητες με κλιμάκωση. Έτσι, μικρές λεπτομέρειες εμφανίζονται παντού και για κάθε παράγοντα κλιμάκωσης. Το κύριο σχήμα του συνόλου Mandelbrot, όπως φαίνεται στην οθόνη στην παραπάνω εικόνα, μπορεί να βρεθεί κάπου αλλού σε πολύ μικρότερη έκδοση και να εμφανιστεί εάν κάνετε μεγέθυνση αρκετά κοντά (δείτε στο βίντεο). Αλλά αν η διαφορά συντεταγμένων μεταξύ δύο γειτονικών εικονοστοιχείων είναι πολύ μικρή για να επιτρέψει στο ESP32 να εντοπίσει τη διαφορά συμπεριφοράς τους, λόγω έλλειψης ακρίβειας, το φαινόμενο φράκταλ δεν μπορεί να εμφανιστεί…

Για καλύτερη ακρίβεια, ο κώδικας χρησιμοποιεί floats, τα οποία κωδικοποιούνται σε 32 bit από το ESP32. Αυτό επιτρέπει έως και 6 ή 7 επίπεδα ζουμ. Η χρήση διπλής ακρίβειας (64 bits) θα είχε αυξήσει αυτό το βάθος ζουμ, με κόστος πιο αργούς υπολογισμούς, επομένως μεγαλύτερους χρόνους μεταξύ 2 εικόνων.

Για να κάνετε διπλή ακρίβεια, απλώς αλλάξτε όλες τις εμφανίσεις του "float" σε "double" στον κώδικα και εκτελέστε τον κώδικα. Πρόσφατα έφτιαξα μια έκδοση για μεγαλύτερη οθόνη (HVGA 480 x 320 pixels): Τα 16 bits floats χρειάζονται 3 δευτερόλεπτα για να εμφανιστεί η εικόνα και τα διπλά διαρκούν από 10 έως 20 δευτερόλεπτα (3 έως 6 φορές περισσότερο), αλλά υποστηρίζουν περισσότερα από 15 επίπεδα ζουμ Το Η τρίτη εικόνα σε αυτό το κεφάλαιο δείχνει το επίπεδο μεγέθυνσης 14 στο μεγαλύτερο μέρος του συνόλου Mandelbrot.

Πώς να συνδέσετε την οθόνη:

Χρησιμοποίησα οθόνη SPI και οι παράμετροι έχουν οριστεί στο αρχείο User_Setup.h (στο φάκελο βιβλιοθήκης TFT_eSPI):

• Πρόγραμμα οδήγησης: σχολιάστε το σωστό πρόγραμμα οδήγησης για την οθόνη σας. Το δικό μου ήταν #define RPI_ILI9486_DRIVER

• Αριθμοί καρφιτσών: μεταβείτε στην ενότητα ESP32 του αρχείου και επιλέξτε

  • #define TFT_MISO 19
  • #define TFT_MOSI 23
  • #define TFT_SCLK 18
  • #define TFT_CS 15 // Καρφίτσα ελέγχου επιλογής τσιπ
  • #define TFT_DC 2 // Καρφίτσα ελέγχου εντολών δεδομένων
  • #define TFT_RST 4 // Επαναφορά καρφίτσας (θα μπορούσε να συνδεθεί με καρφίτσα RST)
  • #define TOUCH_CS 22 // Chip select pin (T_CS) της οθόνης αφής
• Γραμματοσειρές: δεν χρειάζεται να τις αλλάξετε

• Άλλες επιλογές: Επέλεξα τα ακόλουθα

  • #define SPI_FREQUENCY 20000000
  • #define SPI_READ_FREQUENCY 20000000
  • #define SPI_TOUCH_FREQUENCY 2500000

Όλες οι άλλες γραμμές του αρχείου σχολιάζονται.

Βαθμονομήστε τη χωρητικότητα αφής της οθόνης

Εάν η επιλογή ενός τμήματος οθόνης ή ενός κουμπιού δεν είναι ακριβής ή ακόμη και εντελώς λανθασμένη, εκτελέστε το σκίτσο βαθμονόμησης αφής από τη βιβλιοθήκη TFT_eSPI και αντιγράψτε / επικολλήστε στον κώδικα του πίνακα που παρέχει (φροντίστε να χρησιμοποιήσετε τη σωστή τιμή για τον προσανατολισμό της οθόνης, 1 ή 3 για τοπίο).

Βήμα 3: Πρόγραμμα ESP32

Ο κωδικός εμφανίζεται σε οθόνη αφής TFT 320 x 240 και χρησιμοποιεί τη βιβλιοθήκη TFT_eSPI. Υπολογίζει τις ρυθμίσεις Mandelbrot και Julia για πολλές τιμές εκθέτη και σας επιτρέπει να κάνετε μεγέθυνση σε περιοχές που σας ενδιαφέρουν για να δείτε την πτυχή του φράκταλ (δηλαδή την παρουσία των ίδιων δομών σε κάθε αλλαγή κλίμακας).

Ο συνημμένος κώδικας είναι μια έκδοση για οθόνη 480 x 320. Σε αυτήν την έκδοση, μπορείτε να αλλάξετε το μέγεθος (πλάτος και ύψος σε pixel) της οθόνης. Η βιβλιοθήκη TFT_eSPI ορίζει τις συνδέσεις σε ένα αρχείο εγκατάστασης (συνημμένο) το οποίο πρέπει να τοποθετηθεί στον κατάλογο της βιβλιοθήκης.

Ο κώδικας ξεκινά εμφανίζοντας τις οδηγίες λειτουργίας (δείτε εικόνα και βίντεο)

Το μεγαλύτερο μέρος της οθόνης προορίζεται για την εμφάνιση εικόνων, τα κουμπιά αφής είναι διαθέσιμα στη δεξιά πλευρά της οθόνης:

• R: πραγματοποιεί "επαναφορά", δηλ. μι. εμφανίζει την εικόνα στη μέγιστη κλίμακα,
• U: Το "undo" σάς επιτρέπει να επιστρέψετε στο προηγούμενο βήμα (εάν η περιοχή μεγέθυνσης δεν είναι ενδιαφέρουσα, μπορείτε να επιλέξετε ένα άλλο μέρος της εικόνας για μεγέθυνση),
• M ή J: σας επιτρέπει να αλλάξετε από το σύνολο του Mandelbrot στο σετ της Julia και αντίστροφα.

Οι ετικέτες ορισμένων πλήκτρων αλλάζουν ανάλογα με το περιβάλλον: εμφανίζουν τη λειτουργία που θα εκτελεστεί αν πατηθεί. Έτσι, αν εμφανίζετε αυτήν τη στιγμή το σετ Mandelbrot, το πλήκτρο M/J εμφανίζει J αφού αν το πατήσετε θα εμφανίσετε το σύνολο της Julia (και αντίστροφα).

Το ίδιο ισχύει και για την επιλογή της χρωματικής παλέτας. Ξεκινάμε με την πράσινη παλέτα. Το κλειδί προτείνει την επόμενη παλέτα (τη μπλε). Οι παλέτες είναι: κόκκινο, πράσινο, μπλε, γκρι, παλέτα 1, παλέτα 2 και πίσω στο κόκκινο. Οι δύο τελευταίες είναι πολύχρωμες δοκιμές παλετών που παρέχουν μεγαλύτερη αντίθεση, επιτρέποντας την καλύτερη προβολή ορισμένων λεπτομερειών.

Το πλήκτρο με έναν αριθμό σάς επιτρέπει να επιλέξετε τον εκθέτη n, σε έναν βρόχο από 2 έως 7 (και πίσω στο 2). Στο ίδιο πνεύμα, εμφανίζει 3 αν βρίσκεστε αυτή τη στιγμή στο 2…

Τέλος, κατά την εμφάνιση του συνόλου Julia, είναι απαραίτητο να επιλέξετε την τιμή της σταθεράς c: το πλήκτρο C σας επιτρέπει να το κάνετε αυτό, χάρη σε έναν επιλογέα (δείτε τη δεύτερη εικόνα). Η τιμή αυτής της σταθεράς εμφανίζεται με το σύνολο.

Κάνοντας κλικ στην εικόνα μεγεθύνεται γύρω από το επιλεγμένο σημείο. Ένας μικρός κύκλος εμφανίζεται στο σημείο που άγγιξε και ένα ορθογώνιο τονίζει τη ζουμ του ζουμ του συνόλου.

Η 3η εικόνα δείχνει ότι οι χρόνοι υπολογισμού παραμένουν μεταξύ 0,8 και 1,2 δευτερολέπτων για 320 x 240 εικονοστοιχεία, γεγονός που διευκολύνει τη μεγέθυνση και την εμφάνιση. Φτάνει τα 3 δευτερόλεπτα για 480 x 320 pixel, αλλά παρέχει περισσότερες λεπτομέρειες.

Βήμα 4: Ορισμένες εικόνες εξηγούνται…

Η μεγαλύτερη εικόνα είναι το γνωστό σετ Mandelbrot. Οι μιγαδικοί αριθμοί που χρησιμοποιούνται σε αυτήν την εικόνα κυμαίνονται από -2,1 έως +0,7 στην τετμημένη και -1,2 έως 1,2 σε τεταγμένη. Εάν κάνετε ζουμ στο αριστερό μέρος αυτής της πρώτης εικόνας, το πιθανότερο είναι ότι θα πάρετε τελικά τη δεύτερη, η οποία εμφανίζει μια μικρότερη έκδοση του αρχικού συνόλου που βρίσκεται στο αριστερότερο άκρο του συνόλου. Και για τις δύο αυτές εικόνες, ο εκθέτης ('n') είναι ίσος με 2: αυτή είναι η τιμή που συνήθως χρησιμοποιείται για την εμφάνιση συνόλων Mandelbrot.

Εάν αλλάξετε αυτήν την τιμή σε 3 (απλώς κάντε κλικ στο κλειδί που λέει 3), λαμβάνετε την τρίτη εικόνα. Μια προφανής διαφορά είναι ο συντελεστής συμμετρίας: n = 2 δίνει αξονική συμμετρία (δηλαδή το σύνολο είναι συμμετρικό έναντι του μέσου οριζόντιου άξονα), αλλά με n = 3 η εικόνα γίνεται αμετάβλητη με περιστροφή 120 ° (το ένα τρίτο της 360 °, περιστροφή συντελεστής συμμετρίας 3). Και διατηρεί τις ιδιότητες του φράκταλ, τις οποίες μπορείτε να επαληθεύσετε κάνοντας ζουμ στις άκρες του μαύρου σχήματος.

Η τέταρτη εικόνα είναι ένα σύνολο Τζούλια που ελήφθη μετά την επιλογή μιας τιμής συντελεστή ίση με 0,414 σε τετμημένη και 0,09 σε τεταγμένη. Η κόκκινη παλέτα επιλέγεται, όπως φαίνεται από το πράσινο πλήκτρο στα δεξιά (πράσινο, το επόμενο χρώμα που θα επιλεγεί). Η πέμπτη εικόνα εμφανίζει το ίδιο είδος σετ Τζούλια, το οποίο είναι ένα υψηλότερο φανταστικό μέρος της σταθεράς (0,358).

Ελπίζω να σας αρέσει να παίζετε με αυτό το πρόγραμμα και ότι θα μπορείτε να εμφανίζετε ωραίες φράκταλ εικόνες. Μη διστάσετε να εξερευνήσετε τα σύνολα Mandelbrot και Julia και να παίξετε με τις παλέτες: βοηθούν στον εντοπισμό ορισμένων λεπτομερειών που μπορεί να μην είναι ορατές με τις απλές μονόχρωμες. Μπορεί ακόμη και να ανακαλύψετε μερικά φράκταλ τοπία που κανείς δεν έχει δει ποτέ πριν από εσάς…

_

Θέλετε να ανακαλύψετε περισσότερες φράκταλ εικόνες; Απλώς κάντε κλικ εδώ ή εξερευνήστε την τέχνη του φράκταλ ή ακόμα και το φράκταλ. Maybeσως αυτό το διδακτικό να σας κάνει να θέλετε να δημιουργήσετε τόσο υπέροχες εικόνες…

Δεύτερο βραβείο στο διαγωνισμό Made with Math